Question

如圖，三棱柱ABC－ABC的側(cè)面AACC與底面ABC垂直，AB=BC=CA=4，且AA⊥AC，AA=AC.

（Ⅰ）證明：AC⊥BA；

（Ⅱ）求側(cè)面AABB與底面ABC所成二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

(1)要證明線線垂直，通過線面垂直的性質(zhì)定理來證明。

(2) 側(cè)面AABB與底面ABC所成的二面角為arccos

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OA，OB，BA，則

，             2分

.                    4分

∴AC⊥面BOA.                          5分

∵BA面BOA，∴AC⊥BA.              6分

（Ⅱ）解法一：∵面AACC⊥面ABC，AO⊥AC，

∴AO⊥面ABC.                          7分

過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，連結(jié)AH，則AH⊥AB，

∴∠AHO為所求二面角的平面角.                  9分

在等邊△ABC中，OH=，AH=.   ∴cos∠AHO==.       11分

∴側(cè)面AABB與底面ABC所成的二面角為arccos.                   12分

解法二：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，                                              7分

則A（0，－2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），

C（0，4，2），設(shè)n=（x，y，z）是面AABB的一個(gè)法向量，則n⊥，n⊥，

∵=（0，2，2）， =（2，2，0），                 8分

∴ 取x=1，得n=（1，－，）.            9分

易知平面ABC的法向量為m=（0，0，1），                   10分

所以cos<m，n>==.                  11分

∴ 側(cè)面AABB與底面ABC所成的二面角為arccos.                  12分

考點(diǎn)：二面角的平面角，線線垂直

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了關(guān)于垂直證明，以及二面角的平面角的求解，屬于基礎(chǔ)題�？梢赃\(yùn)用代數(shù)法也可以運(yùn)用幾何性質(zhì)來求解和證明。