若a>0,b>0且a+b=7,則
4
a
+
1
b+2
的最小值為( �。�
A、
8
9
B、1
C、
9
8
D、
102
77
考點:基本不等式
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:由于a>0,b>0且a+b=7,可得a=7-b>0,0<b<7.
4
a
+
1
b+2
=
4
7-b
+
1
b+2
=f(b),再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.
解答:解:∵a>0,b>0且a+b=7,∴a=7-b>0,∴0<b<7.
4
a
+
1
b+2
=
4
7-b
+
1
b+2
=f(b),
f(b)=
4
(b-7)2
-
1
(b+2)2
=
3(b+10)(b-1)
(b-7)2(b+2)2
,
令f′(b)=0,解得b=1.此時a=6.
當(dāng)0<b<1時,f′(b)<0,此時函數(shù)f(b)單調(diào)遞減;當(dāng)1<b時,f′(b)>0,此時函數(shù)f(b)單調(diào)遞增.
∴當(dāng)b=1時,函數(shù)f(b)取得極小值即小值.
f(1)=
4
6
+
1
1+2
=1.
故選:B.
點評:本題考查了導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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