Question

設(shè)實數(shù)x，y滿足x+y=1，則

4

x

+

x

y

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由x+y=1得y=1-x，代入

4

x

+

x

y

中，并構(gòu)造函數(shù)t，求函數(shù)的值域即可．

解答： 解：∵x+y=1，∴y=1-x，
∴

4

x

+

x

y

=

4

x

+

x

1-x

=

4(1-x)+x2

x(1-x)

；
設(shè)t=

4(1-x)+x2

x(1-x)

，
則（t+1）x²-（t+4）x+4=0，
當(dāng)t=-1時，-3x+4=0，
∴x=

4

3

，此時y=-

1

3

；
當(dāng)t≠-1時，有[-（t+4）]²-4（t+1）×4≥0；
即t²-8t≥0，解得t≤0，或t≥8；
綜上，知t的取值范圍是t≤0，或t≥8；
∴

4

x

+

x

y

的取值范圍是（-∞，0]∪[8，+∞）．
故答案為：（-∞，0]∪[8，+∞）．

點評：本題考查了求代數(shù)式的取值范圍的問題，解題時應(yīng)根據(jù)題目中的條件，把代數(shù)式化為求函數(shù)的值域問題，是基礎(chǔ)題．