(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945736447.png)
定義域為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945767326.png)
,若對于任意的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945783569.png)
,都有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945814774.png)
,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945845386.png)
時,有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945861538.png)
.
(1)求證:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945736447.png)
為奇函數(shù);
(2)求證:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945736447.png)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945767326.png)
上為單調遞增函數(shù);
(3)設
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946079452.png)
,若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945736447.png)
<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946126611.png)
,對所有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946142753.png)
恒成立,求實數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946235337.png)
的取值范圍.
(1)見解析(2)見解析(3)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946251833.png)
試題分析:(1)因為有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945814774.png)
,
令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946345472.png)
,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946360637.png)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946391481.png)
, ……1分
令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946407407.png)
可得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946485817.png)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946501564.png)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945736447.png)
為奇函數(shù). ……4分
(2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946532531.png)
是定義在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946563327.png)
上的奇函數(shù),由題意
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946579654.png)
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232359465941080.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232359466252109.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946641473.png)
是在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946563327.png)
上為單調遞增函數(shù); ……8分
(3)因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945736447.png)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945767326.png)
上為單調遞增函數(shù),
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945736447.png)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945767326.png)
上的最大值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946766479.png)
, ……9分
所以要使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945736447.png)
<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946126611.png)
,對所有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946142753.png)
恒成立,
只要
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946126611.png)
>1,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946859558.png)
>0, ……10分
令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946875416.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946906612.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946937378.png)
. ……12分
點評:解決抽象函數(shù)問題常用的方法是“賦值法”,而要考查抽象函數(shù)的性質,還要借助圖象,數(shù)形結合來解決.對于恒成立問題,要轉為為求最值來解決,而(3)中將函數(shù)轉化為關于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235946953283.png)
的函數(shù),是這道題解題的亮點所在.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)探究函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002712912979.png)
的最小值,并確定取得最小值時x的值.列表如下:
x
| …
| 0.5
| 1
| 1.5
| 1.7
| 1.9
| 2
| 2.1
| 2.2
| 2.3
| 3
| 4
| 5
| 7
| …
|
y
| …
| 16
| 10
| 8.34
| 8.1
| 8.01
| 8
| 8.01
| 8.04
| 8.08
| 8.6
| 10
| 11.6
| 15.14
| …
|
請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
(1)函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002712912943.png)
在區(qū)間(0,2)上遞減;函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002712912943.png)
在區(qū)間
上遞增.當
時,
.
(2)證明:函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002712912943.png)
在區(qū)間(0,2)遞減.
(3)思考:函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002712912943.png)
時,有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?(直接回答結果,不需證明)
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
函數(shù)f(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824001514265702.png)
的單調減區(qū)間為___________________
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824000445148479.png)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824000445179362.png)
上的最大值與最小值的和為
。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824000128119935.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824000128150310.png)
的最小值為
。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235937811467.png)
在(0,+∞)上( )
A.既無最大值又無最小值 | B.僅有最小值 |
C.既有最大值又有最小值 | D.僅有最大值 |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235808111639.png)
的圖象如圖所示,其中
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235808127396.png)
為常數(shù),則下列結論正確的是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232358081581058.png)
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
判斷并利用定義證明f(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235031483448.png)
在(-∞,0)上的增減性.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
定義在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234339798303.png)
上的函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234339892582.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234340001601.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234340094604.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234340126615.png)
中,同時滿足條件①
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234340297664.png)
;②對一切
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234340313616.png)
,恒有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234340344902.png)
的
A.共有1個 | B.共有2個 | C.共有3個 | D.共有4個 |
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