Question

動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F(1，0)的距離和它到直線(xiàn)l：x＝－1的距離相等，記點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C₁．圓C₂的圓心T是曲線(xiàn)C₁上的點(diǎn)，圓C₂與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|＝4．

(1)求曲線(xiàn)C₁的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A(a，0)(a＞2)，若點(diǎn)A到點(diǎn)T的最短距離為a－1，試判斷直線(xiàn)l與圓C₂的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法1：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，依題意，得， 　　即　　2分 　　化簡(jiǎn)得：y2＝4x， 　　∴曲線(xiàn)C1的方程為y2＝4x　　4分 　　解法2：由于動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)的距離和它到直線(xiàn)的距離相等， 　　根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線(xiàn)l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)　　2分 　　∴曲線(xiàn)C1的方程為y2＝4x　　4分 　　(2)解：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為，圓C2的半徑為r， 　　∵點(diǎn)T是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)， 　　∴()． 　　∴　　6分 　　 　　． 　　∵，∴，則當(dāng)時(shí)，取得最小值為　　8分 　　依題意得， 　　兩邊平方得， 　　解得或(不合題意，舍去)　　10分 　　∴，，即． 　　∴圓的圓心的坐標(biāo)為． 　　∵圓與軸交于兩點(diǎn)，且， 　　∴． 　　∴　　12分 　　∵點(diǎn)到直線(xiàn)的距離， 　　∴直線(xiàn)與圓相離　　14分