Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， ， ，點分別為的中點.

（1）證明： 平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接， ，點， 分別為， 的中點，可得為 △的一條中位線， ，由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）先利用勾股定理證明，由題意以點 為坐標(biāo)原點， 為軸， 為 軸， 為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果；

試題解析：（1）證明：連接，，點，分別為， 的中點，所以為△的一條中位線， ，

平面， 平面，

所以平面.

（2）設(shè)，則，， ，

由，得，解得，

由題意以點為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，

為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

可得，，，，

故，， ， ，

設(shè)為平面的一個法向量，則

，得，同理可得平面的一個法向量為，

設(shè)二面角的平面角為，

，

，

所以，二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.