Question

已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F作傾斜角為135°的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，且直線AB與OM的夾角為，且tan＝3，求這個(gè)橢圓的離心率．

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則＋＝1，＋＝1， 　　兩式相減可得kAB＝＝·＝－1， 　　所以a2y0＝b2x0． 　　又kOM＝＝1－e2，而||＝tan＝3， 　　故kOM＝或kOM＝2(∵a＞b，＜1，∴kOM＝2舍去)， 　　所以1－e2＝，e＝為所求． 　　解析：本題先根據(jù)題意求出直線AB的斜率，再依據(jù)直線與橢圓的方程聯(lián)立消去其中一個(gè)未知數(shù)，找到相應(yīng)的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫(或縱)坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而表示出相應(yīng)的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而將問題解決．

提示：

對(duì)于有關(guān)直線與橢圓的交點(diǎn)問題的解決，通常聯(lián)立直線與橢圓的方程消去其中的一個(gè)未知數(shù)，從而利用根與系數(shù)間的關(guān)系將兩個(gè)交點(diǎn)的橫(或縱)坐標(biāo)間的關(guān)系找到，再利用已知條件解決相關(guān)的問題．