解:(1)法一:∵f(x)=x
2+ln(x-a)(a∈R),∴x>a,
∴
=
(x>a).
令g(x)=2x
2-2ax+1,△=4a
2-8=4(a
2-2).
當△>0時,得
或a
.
若a
,則f
′(x)>0在x>a時恒成立,此時函數f(x)無極值點;
若
,設g(x)=2x
2-2ax+1=0的兩根為x
1,x
2,且x
1<x
2.
∵
,∴a<x
1<x
2,若下表:
∴當
時,函數f(x)由兩個極值點.
法二:
=
(x>a).
設g(x)=2x
2-2ax+1,f(x)由兩個極值點?g(x)=0由兩個大于a的不等實數根x
1,x
2(x
1<x
2).
∴
,解得
,∴當
時,函數f(x)由兩個極值點.
(2)當a≤-2時,由(1)知
,∴a<x
1<-1<x
2<0.
∴f(x)在[-1,x
2]上為減函數,而在[x
2,0]上為增函數,
∴f(x)在[-1,0]上的最大值是f(-1)和f(0)中的最大的那一個.
∵f(-1)=1+ln(-1-a),f(0)=ln(-a).
設h(a)=f(-1)-f(0)=
=
.
∵a≤-2,∴
,∴
,故h(a)>0.
∴最大值為f(-1).
即g(a)=f(-1)=1+ln(-1-a)(a≤-2).
(3)由(2)可知:當a=-2時,f(x)=x
2+ln(x+2)有最大值f(-1)=1+ln(-1+2)=1.
取
,n∈N
+.則
.
即
=
.
法一:由
=
,
把n依次取n,n-1,…1得到n個不等式,再相加得:
ln(n+1)
≤
=
.
∴
.
即
.
法二:用數學歸納法證明:
①當n=1時,易知成立.
假設n=k時,不等式成立,即
,(k∈N
+)成立.
當n=k+1時,
=
=
<
<0(由歸納假設及
.
所以當n=k+1時不等式也成立.
故得證.
分析:(1)f(x)有兩個不同的極值點?f
′(x)=0在定義域內有不同的兩個實數根.
(2)當a≤-2時,由(1)可知a<x
1<-1<x
2<0.及f(x)在[-1,x
2]與[x
2,0]上的單調性可得:f(x)在[-1,0]上的最大值是f(-1)和f(0)中的最大的那一個.
(3)利用(2)的結論可得:
=
.把n依次取n,n-1,…1得到n個不等式,再相加即可得到.或利用上下歸納法也可證明.
點評:本題綜合考查了利用導數解決含參數的函數的單調性和極值問題,熟練掌握導數、三個二次及分類討論思想方法是解題的關鍵.