Question

已知函數f（x）=x²+ln（x-a）（a∈R）．
（1）若f（x）有兩個不同的極值點，求a的取值范圍；
（2）當a≤-2時，g（a）表示函數f（x）在[-1，0]上的最大值，求g（a）的表達式；
（3）求證：．

Answer 1

解：（1）法一：∵f（x）=x²+ln（x-a）（a∈R），∴x＞a，
∴=（x＞a）．
令g（x）=2x²-2ax+1，△=4a²-8=4（a²-2）．
當△＞0時，得或a．
若a，則f^′（x）＞0在x＞a時恒成立，此時函數f（x）無極值點；
若，設g（x）=2x²-2ax+1=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂．
∵，∴a＜x₁＜x₂，若下表：
∴當時，函數f（x）由兩個極值點．
法二：=（x＞a）．
設g（x）=2x²-2ax+1，f（x）由兩個極值點?g（x）=0由兩個大于a的不等實數根x₁，x₂（x₁＜x₂）．
∴，解得，∴當時，函數f（x）由兩個極值點．
（2）當a≤-2時，由（1）知，∴a＜x₁＜-1＜x₂＜0．
∴f（x）在[-1，x₂]上為減函數，而在[x₂，0]上為增函數，
∴f（x）在[-1，0]上的最大值是f（-1）和f（0）中的最大的那一個．
∵f（-1）=1+ln（-1-a），f（0）=ln（-a）．
設h（a）=f（-1）-f（0）==．
∵a≤-2，∴，∴，故h（a）＞0．
∴最大值為f（-1）．
即g（a）=f（-1）=1+ln（-1-a）（a≤-2）．
（3）由（2）可知：當a=-2時，f（x）=x²+ln（x+2）有最大值f（-1）=1+ln（-1+2）=1．
取，n∈N₊．則．
即=．
法一：由=，
把n依次取n，n-1，…1得到n個不等式，再相加得：
ln（n+1）
≤=．
∴．
即．
法二：用數學歸納法證明：
①當n=1時，易知成立．
假設n=k時，不等式成立，即，（k∈N₊）成立．
當n=k+1時，
=
=
＜
＜0（由歸納假設及．
所以當n=k+1時不等式也成立．
故得證．
分析：（1）f（x）有兩個不同的極值點?f^′（x）=0在定義域內有不同的兩個實數根．
（2）當a≤-2時，由（1）可知a＜x₁＜-1＜x₂＜0．及f（x）在[-1，x₂]與[x₂，0]上的單調性可得：f（x）在[-1，0]上的最大值是f（-1）和f（0）中的最大的那一個．
（3）利用（2）的結論可得：=．把n依次取n，n-1，…1得到n個不等式，再相加即可得到．或利用上下歸納法也可證明．
點評：本題綜合考查了利用導數解決含參數的函數的單調性和極值問題，熟練掌握導數、三個二次及分類討論思想方法是解題的關鍵．