Question

下列四個(gè)命題，其中為真命題的是

①②③

；（寫出所有的真命題序號(hào)）
①方程2x²+4x+y=0表示的曲線一定經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
②不等式x²+4x+5≤0的解集為空集，
③方程xy=0表示的曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
④若sinα=sinβ，則α=β．

Answer 1

分析：根據(jù)曲線方程的概念，點(diǎn)在曲線上的充要條件是點(diǎn)的坐標(biāo)是曲線方程的解，∴只需驗(yàn)證點(diǎn)的坐標(biāo)是不是方程的解，就可判定點(diǎn)在不在曲線上，利用一元二次函數(shù)圖象與一元二次方程的根，可分析求解一元二次不等式的解集；點(diǎn)（a、b）關(guān)于y=x對(duì)稱點(diǎn)是（b、a），用方程驗(yàn)證即可．

解答：解：∵原點(diǎn)（0，0）的坐標(biāo)是方程2x²+4x+y=0的解，∴曲線一定過坐標(biāo)原點(diǎn)，①√；
∵△=4²-4×5=16-20=-4＜0，函數(shù)y=x²+4x+5 的圖象全部在x軸上方，∴x²+4x+5≤0的解集為∅，∴②√；
∵對(duì)曲線上的任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)Q（b，a），滿足方程ba=0，∴Q（b，a）在曲線上，∴曲線 xy=0，關(guān)于y=x 直線對(duì)稱，③√；
∵sin

π

6

=sin

5π

6

=

1

2

，而

π

6

≠

5π

6

，∴④×；
故答案是①②③

點(diǎn)評(píng)：本題借助真假命題的判斷，考查了一元二次不等式的解集；曲線方程的概念及曲線對(duì)稱的判定方法等知識(shí)．