Question

已知點(diǎn)（1，2）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的圖象上一點(diǎn)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n=f（n）-1．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若b_n=log_aa_n+1，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（I）把點(diǎn)（1，2）代入函數(shù)f（x）=a^x得a=2，
所以數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=f（n）-1=2ⁿ-1
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1
對(duì)n=1時(shí)也適合∴a_n=2^n-1
（II）由a=2，b_n=log_aa_n+1得b_n=n，
所以a_nb_n=n•2^n-1
T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²++n•2^n-1①
2T_n=1•2¹+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②
由①-②得：-T_n=2⁰+2¹+2²++2^n-1-n•2ⁿ
所以T_n=（n-1）2ⁿ+1．
分析：（I）把點(diǎn)（1，2）代入函數(shù)解析式中求得a，然后可得數(shù)列前n項(xiàng)和的表達(dá)式，進(jìn)而利用a_n=S_n-S_n-1，求得a_n．
（II）把（I）中的a_n代入b_n中求得數(shù)列{a_n•b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前n項(xiàng)的和．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)的和．考查了學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)的綜合把握．