Processing math: 100%
10.已知各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a1=2,a5=32,數(shù)列{bn}滿足:對(duì)于任意n∈N*,有a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)•2n+1+2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令f(n)=a2+a4+…+a2n,求nlimfn+1fn的值;
(3)求數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式,若在數(shù)列{an}的任意相鄰兩項(xiàng)ak與ak+1之間插入bk(k∈N*)后,得到一個(gè)新的數(shù)列{cn},求數(shù)列{cn}的前100項(xiàng)之和T100

分析 (1利用q=\root{4}{\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}},即可得出.
(2)利用等比數(shù)列的求和公式可得f(n)=434n1,f(n+1)=434n+11.再利用極限的運(yùn)算法則即可得出.
(3)由a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)•2n+1+2,當(dāng)n≥2時(shí),a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=(n-2)•2n+2,兩式相減得:可得bn=n2n2n=n(n≥2),b1=1滿足上式,可得bn=n.設(shè)Sn表示數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)之和,S100=(a1+a2+…+a50)+(b1+b2+…+b50),即可得出.

解答 解:(1)∵a1=2,a5=32,
∴q=\root{4}{\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}}=2,
∴an=2n
(2)f(n)=a2+a4+…+a2n=22+24+…+22n=44n141=434n1,f(n+1)=434n+11
nlimfn+1fn=nlim4n+114n1=nlim414n114n=4.
(3)∵a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)•2n+1+2,
∴當(dāng)n≥2時(shí),a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=(n-2)•2n+2,
兩式相減得:anbn=(n-1)•2n+1+2-(n-2)•2n+2=n•2n,即bn=n2n2n=n(n≥2),
又∵a1b1=2,即b1=1滿足上式,
∴bn=n;
設(shè)Sn表示數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)之和,
S100=(a1+a2+…+a50)+(b1+b2+…+b50
=2+22+…+250+1+2+…+50
=2250121+50×512
=251+1273.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.已知數(shù)列{an}(n∈N*)是公差不為0的等差數(shù)列,a1=1,且1a21a4,1a8成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn<1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

1.集合A={x|1<log2x<3,x∈Z},B={x|5≤x<9},則A∩B=( �。�
A.[5,e2B.[5,7]C.{5,6,7}D.{5,6,7,8}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

18.向量a=(4,-3),則與a同向的單位向量a0=(45,-35).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.a=(1,2),=(k,4),若a,則下列結(jié)論正確的是( �。�
A.k=-6B.k=2C.k=6D.k=-2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

15.不等式x2-2mx+1≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是-1≤m≤1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

2.集合A={x|x+2x2≤0,x∈R},B={x||x-1|<2,x∈R}.
(1)求A、B;
(2)求B∩(∁UA).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

3.某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是個(gè)半圓,則該幾何體的側(cè)面積為(  )
A.32πB.32π+3C.π+3D.52π+3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

4.已知fx=4+1x2,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)Pnan1an+1,在曲線y=f(x)上(n∈N*),且a1=1,an>0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且滿足Tn+1a2n=Tna2n+1+16n28n3,求出b1的值,使得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(3)求證:Sn124n+11nN

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案