Question

已知函數(shù)f（x）=x²+mx+n的圖象過(guò)點(diǎn)（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)
y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．求f（x）與g（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件得到：

1+m+n=3 - m 2 =-1

，解出m．n即得函數(shù)f（x）解析式．因?yàn)間（x）與f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以可設(shè)（x₀，y₀）為f（x）圖象上任一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在g（x）圖象上，并設(shè)該點(diǎn)為（x，y），則將點(diǎn)（x₀，y₀）帶入f（x）解析式，即得關(guān)于x，y的式子，該式子便是g（x）解析式．

解答： 解：∵f（-1+x）=f（-1-x）；
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=-1，又f（x）圖象過(guò)（1，3）；
∴

1+m+n=3 - m 2 =-1

，解得m=2，n=0；
∴f（x）=x²+2x；
設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象上任一點(diǎn)A（x₀，y₀），該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B（x，y），則：
x₀=-x，y₀=-y且y0=x02+2x0；
∴-y=x²-2x，y=-x²+2x；
即g（x）=-x²+2x．

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，函數(shù)圖象上的點(diǎn)和函數(shù)解析式的關(guān)系．