Question

橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x²+y²=1上，過右焦點作直線l（不與x軸垂直）交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于P．
（1）求橢圓的方程；
（2）試探索的直徑是否為定值，若是，求出該定值，若不是，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x²+y²=1上，
∴b=c=1，∴a²=b²+c²=2
∴橢圓的方程為；
（2）設直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（（x₂，y₂），則中點M的坐標為（）
與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
則x₁+x₂=，x₁x₂=
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=
∴中點M的坐標為M（，）
由點斜式可得線段AB的垂直平分線的方程為y+=-（x-）
即
令y=0，得x=，∴P的坐標為（，0）
∴|PF|=1-=
∵|AB|==
∴=2
分析：（1）根據橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x²+y²=1上，可得b=c=1，利用a²=b²+c²，即可求得橢圓的方程；
（2）設直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，，利用韋達定理確定M的坐標，從而可得線段AB的垂直平分線的方程，由此可得P的坐標，計算|PF|、|AB|，即可得到結論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查弦長的計算，屬于中檔題．