已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=
1
2
n(n-1)
,且an是bn與1的等差中項.
(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)令cn=
an
3n
,求數(shù)列{Cn}的前n項和Tn;
(3)若f(n)=
an(n=2k-1)
bn(n=2k)
(k∈N*),是否存在n∈N*,使得f(n+13)=2f(n),并說明理由.
分析:(1)由Sn=
1
2
n2-
1
2
n
,an=
S1???n=1
Sn-Sn-1?n≥2
,求得an=n-1,再由2an=bn+1,能夠得到{bn}的通項公式.
(2)由Cn=
n-1
3n
,知Tn=0×(
1
3
)+1•(
1
3
)2++(n-1)•(
1
3
)n
,由錯位相減法能求出Tn=
1
4
-
1
4
1
3n-1
-
n-1
2•3n
=
1
4
-
2n+1
4•3n

(3)當n為奇數(shù)時f(n)=an=(n-1)f(n+13)=2n+23;當n為偶數(shù)時f(n)=bn=(2n-3)f(n+13)=n+12.由此能夠?qū)С鰸M足條件的n存在且等于6.
解答:解:(1)由Sn=
1
2
n2-
1
2
n
,由an=
S1???n=1
Sn-Sn-1?n≥2

求得an=n-1
又∵2an=bn+1
∴bn=2n-3
(2)Cn=
n-1
3n

Tn=0×(
1
3
)+1•(
1
3
)2++(n-1)•(
1
3
)n
1
3
Tn=0•(
1
3
)2++(n-2)(
1
3
)n+(n-1)•(
1
3
)n+1

兩式相減得:
2
3
Tn=1×(
1
3
)2++(
1
3
)n-(n-1)•(
1
3
)n+1

2
3
Tn=
(
1
3
)
2
•[1-(
1
3
)
n-1
]
1-
1
3
-(n-1)•(
1
3
)n+1=
1
6
•[1-
1
3n-1
]-
n-1
3n+1

Tn=
1
4
-
1
4
1
3n-1
-
n-1
2•3n
=
1
4
-
2n+1
4•3n

(3)當n為奇數(shù)時:f(n)=an=n-1f(n+13)=2n+23
∴2n+23=2n-2?n∈?
當n為偶數(shù)時f(n)=bn=2n-3f(n+13)=n+12由題
∴2•(2n-3)=n+12?n=6為偶數(shù)
∴滿足條件的n存在且等于6.
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要注意公式的合理運用.
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