Question

已知ad≠bc，求證：(a²+b²)(c²+d²)>(ac+bd)²

 

Answer 1

答案：
解析：

證法一：設y1=cos(sinx)，y2=sin(cosx)，其最小正周期為2π．在x∈[0，2π]討論． 　　而sin(cosx)=sin[cos(π＋y)]=sin[－cosy]=－sin(cosy)＜0，∴cos(sinx)＞sin(cosx)． 　　 　　∴沿用①的結(jié)論，cos(siny)＞sin(cosy)，又知y=2π－x， 　　∴cos(siny)=cos[sin(2π－x)]=cos(sinx)，sin(cosy)=sin[cos(2π－y)]=sin(cosx)， 　　∴cos(sinx)＞sin(cosx)． 　 以上證法比較冗長，難免掛一漏萬, 請看下面證法： 證法二： 　　欲證：cos(sinx)＞sin(cosx) 　　只證：cos(cosx)＞sin(sinx) 　　[證]：cos(cosx)－sin(sinx) 　　 　　 　　 　　即cos(cosx)－sin(sinx)＞0，∴cos(cosx)＞sin(sinx) 　　 　　 < 　　       即cos(sinx)＞sin(cosx)．