Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx．
（Ⅰ）當x=1時f（x）取得極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[1，2]時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

解：（I），
∵f'（1）=0，∴a=2，
∴
f'（x）＞0，即x＞1時，函數(shù)f（x）=x²-2lnx單調(diào)遞增；
f'（x）＜0，即0＜x＜1時，函數(shù)f（x）=x²-2lnx單調(diào)遞減．
綜上：函數(shù)f（x）=x²-2lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
函數(shù)f（x）=x²-2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）
（II）
當a≤0時，x∈[1，2]，f'（x）＞0，函數(shù)遞增
∴當x=1時f（x）有最小值，并且最小值為1
當a＞0時，
（1）當0＜a≤2時，函數(shù)在[1，2]上遞增，所以當x=1時f（x）有最小值，并且最小值為4
（2）當2＜a＜8時，函數(shù)在[1，]上遞減，在[，2]上遞增；
所以當時f（x）有最小值，并且最小值為
（3）當8≤a，函數(shù)在[1，2]上遞減，所以當x=2時f（x）有最小值，并且最小值為（4-aln2）
分析：（Ⅰ）先求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)x=1時f（x）取得極值求出a=2；再令導(dǎo)函數(shù)大于0求出增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0求出減區(qū)間即可；
（Ⅱ）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后討論a研究函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最小的一個就是最小值
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．