Question

設(shè)．

（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)任意恒成立．

Answer 1

（1）切線(xiàn)方程為：x－ey＝0；（2）當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，＋∞）上單調(diào)遞增；（3）0＜m＜e．

【解析】

試題分析：（1）， 1分

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，

所以切線(xiàn)的方程為：，即x－ey＝0； 3分

（2）， 4分

當(dāng)a≤0時(shí)，在（0，＋∞）上，此時(shí)g（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＞0時(shí)，在（0，a）上，此時(shí)g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，＋∞）上，此時(shí)g（x） 在（a，＋∞）上單調(diào)遞增； 7分

綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，＋∞）上單調(diào)遞增； 8分

（3）當(dāng)a＝1時(shí)，，不等式為，即，只需lnm小于的最小值即可． 10分

由（2）可知，在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，． 12分

故lnm＜1，可得0＜m＜e，∴m的取值范圍是0＜m＜e． 13分

考點(diǎn)：考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值．