Question

如圖，設(shè)AB、A′B′分別是圓O：x²+y²=4和橢圓C：

x2

4

+y2=1的弦，且弦的端點(diǎn)在y軸的異側(cè)，端點(diǎn)A與A′、B與B′的橫坐標(biāo)分別相等，縱坐標(biāo)分別同號(hào)．
（1）若弦A′B′所在直線(xiàn)斜率為-1，且弦A′B′的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

4

5

，求直線(xiàn)A′B′的方程；
（2）若弦AB過(guò)定點(diǎn)M(0，

3

2

)，試探究弦A′B′是否也必過(guò)某個(gè)定點(diǎn)．若有，請(qǐng)證明；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意得：直線(xiàn)A′B′的方程為y=-x+m，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．
（2）解法一：由（Ⅰ）得：圓O的方程為：x²+y²=4．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，m），
B′（x₂，n），利用點(diǎn)A在圓O上，可得

x

2 1

+

y

2 1

=4．利用點(diǎn)A′在橢圓C上，可得

x 2 1

4

+m2=1．利用弦AB過(guò)定點(diǎn)M(0，

3

2

)，可得x₁≠x₂且k_AM=k_BM，利用點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)A′B′，即可證明．
解法二：由（Ⅰ）得：圓O的方程為：x²+y²=4．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根據(jù)圓O上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

倍可得到橢圓C，又端點(diǎn)A與A′、B與B′的橫坐標(biāo)分別相等，縱坐標(biāo)分別同號(hào)，可得A′(x1，

y1

2

)、B′(x2，

y2

2

)，由弦AB過(guò)定點(diǎn)M(0，

3

2

)，猜想弦A′B′過(guò)定點(diǎn)M′(0，

3

4

)．由于弦AB過(guò)定點(diǎn)M(0，

3

2

)，可得x₁≠x₂且k_AM=k_BM，證明kA′M′=kB′M′即可．

解答： 解：（1）由題意得：直線(xiàn)A′B′的方程為y=-x+m

y=-x+m x2+4y2=4

⇒5x2-8mx+4m2-4=0，
△=80-16m²＞0，
∴設(shè)A′(x1，y1)，B′(x2，y2)，
∴

x1+x2

2

=

4m

5

=

4

5

，解得m=1．
將m=1代入△檢驗(yàn)符合題意，
故滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)A′B′方程為：y=-x+1．
（2）解法一：由（Ⅰ）得：圓O的方程為：x²+y²=4．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，m），B′（x₂，n），
∵點(diǎn)A在圓O上，∴

x

2 1

+

y

2 1

=4，…①
∵點(diǎn)A′在橢圓C上，∴

x 2 1

4

+m2=1，…②
聯(lián)立方程①②解得：m=

y1

2

，同理解得：n=

y2

2

．
∴A′(x1，

y1

2

)、B′(x2，

y2

2

)，
∵弦AB過(guò)定點(diǎn)M(0，

3

2

)，
∴x₁≠x₂且k_AM=k_BM，即

y1- 3 2

x1

=

y2- 3 2

x2

，
化簡(jiǎn)得

y1x2-y2x1

x2-x1

=

3

2

，
直線(xiàn)A′B′的方程為：y-

y1

2

=

y2 2 - y1 2

x2-x1

(x-x1)，即y=

1

2

y2-y1

x2-x1

x+

y1x2-y2x1

2(x2-x1)

，
由

y1x2-y2x1

x2-x1

=

3

2

得直線(xiàn)A′B′的方程為：y=

1

2

y2-y1

x2-x1

x+

3

4

，
∴弦A′B′必過(guò)定點(diǎn)M′(0，

3

4

)．
解法二：由（Ⅰ）得：圓O的方程為：x²+y²=4．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵圓O上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

倍可得到橢圓C，
又端點(diǎn)A與A′、B與B′的橫坐標(biāo)分別相等，縱坐標(biāo)分別同號(hào)，
∴A′(x1，

y1

2

)、B′(x2，

y2

2

)
由弦AB過(guò)定點(diǎn)M(0，

3

2

)，猜想弦A′B′過(guò)定點(diǎn)M′(0，

3

4

)．
∵弦AB過(guò)定點(diǎn)M(0，

3

2

)，
∴x₁≠x₂且k_AM=k_BM，即

y1- 3 2

x1

=

y2- 3 2

x2

…①
kA′M′=

y1 2 - 3 4

x1

=

1

2

y1- 3 2

x1

，kB′M′=

y2 2 - 3 4

x2

=

1

2

y2- 3 2

x2

，
由①得kA′M′=kB′M′，
∴弦A′B′必過(guò)定點(diǎn)M′(0，

3

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與橢圓圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，考查了橢圓與圓的變換關(guān)系，考查了直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．