Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B，以OA，OB為鄰邊作一個平行四邊形OAQB，記直線OQ與橢圓交于P點，且滿足

|OQ|

|OP|

=λ（O為坐標原點），求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用橢圓的離心率為

2

2

，求出a，b的關系，結合以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切，求出a，b的值，即可得出結論；
（2）設AB：y=k（x-2），直線代入橢圓方程，利用韋達定理，確定Q的中點，進而可得P的坐標，代入橢圓方程，即可得出結論．

解答： 解：（1）由題意知橢圓的離心率為

2

2

，∴

a2-b2

a2

=

1

2

，即a²=2b²
又∵以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切
∴b=

2

1+1

=1，
∴a²=2，b²=1．
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）由題意知直線AB的斜率存在．
設AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
直線代入橢圓方程可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴k²＜

1

2

，
x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

．
∴AB的中點為（

4k2

1+2k2

，

-2k

1+2k2

），
∴Q（

8k2

1+2k2

，

-4k

1+2k2

），
∵

|OQ|

|OP|

=λ，
∴x=

1

λ

•

8k2

1+2k2

，y=

1

λ

•

-4k

1+2k2

，
代入橢圓方程可得λ=

4k

1+2k2

=

4

1 k +2k

，
∵k²＜

1

2

，
∴

1

k

+2k＞3或

1

k

+2k＜-3，
∴0＜

4

1 k +2k

＜

4

3

或-

4

3

＜

4

1 k +2k

＜0，
∴0＜λ＜

4

3

或-

4

3

＜λ＜0．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于難題．