如圖,在矩形地塊ABCD中有兩條道路AF,EC,其中AF是以A為頂點的拋物線段,EC是線段.AB=2km,BC=6km,AE=BF=4km.在兩條道路之間計劃修建一個花圃,花圃形狀為直角梯形QPRE(線段EQ和RP為兩個底邊,如圖所示).求該花圃的最大面積.

解:設(shè)拋物線y2=2px
∵點F(4,2)在拋物線上,∴22=2p×4,∴2p=1,∴y2=x
設(shè)P(x2,x) 則QE=AE-AQ=4-x2
∵∠PRE=∠C=45°∴PR=QE+x=4-x2+x (0<x<2)
S'(x)=-3x2+x+4令S'(x)=0則x=-1(舍去)或
當(dāng) 時,S'>0,∴S(x)遞增;
當(dāng) 時,S'<0,∴S(x)遞減;
∴當(dāng) km時,km2
分析:設(shè)拋物線y2=2px,根據(jù)點F(4,2)在拋物線上,可求AF所在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;公園形狀為直角梯形QPRE,所以利用面積公式可求,應(yīng)注意x的取值范圍;先求導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)數(shù)為0,得 ,利用函數(shù)在(0,2)上是單峰函數(shù),可求函數(shù)的最值.
點評:本題以實際問題為載體,考查函數(shù)模型的建立,考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,在矩形地塊ABCD中有兩條道路AF,EC,其中AF是以A為頂點的拋物線段,EC是線段.AB=2km,BC=6km,AE=BF=4km.在兩條道路之間計劃修建一個花圃,花圃形狀為直角梯形QPRE(線段EQ和RP為兩個底邊,如圖所示).求該花圃的最大面積.

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