【題目】已知函數(shù).

（1）證明：函數(shù)在上存在唯一的零點；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）求解出導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點的存在性定理說明在上存在唯一的零點即可；

（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點，判斷出的單調(diào)性，從而可確定，利用以及的單調(diào)性，可確定出之間的關(guān)系，從而的值可求.

（1）證明：∵，∴.

∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.

又，令，，

則在上單調(diào)遞減，，故.

令，則

所以函數(shù)在上存在唯一的零點.

（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.

函數(shù)在上單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.

∴.

由（*）式得.

∴，顯然是方程的解.

又∵是單調(diào)遞減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，

把代入（*）式，得，∴，即所求實數(shù)的值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，判斷在上的單調(diào)性并加以證明；

（2）若，，求的取值范圍.

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（3）當(dāng)，且時，證明不等式．

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【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，有兩個不同的零點，求證：.

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【題目】記無窮數(shù)列的前n項，，…，的最大項為，第n項之后的各項，，…的最小項為，．

（1）若數(shù)列的通項公式為，寫出，，；

（2）若數(shù)列的通項公式為，判斷是否為等差數(shù)列，若是，求出公差；若不是，請說明理由；

（3）若數(shù)列為公差大于零的等差數(shù)列，求證：是等差數(shù)列．

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