Question

在直角坐標系xoy中，若角α的始邊為x軸的非負半軸，終邊為射線（x≥0）．
（1）求的值；
（2）若點P，Q分別是角α始邊、終邊上的動點，且PQ=4，求△POQ面積最大時，點P，Q的坐標．

Answer 1

解：（1）由射線l的方程為（x≥0），
得到tanα=2，且α為第一象限的角，
∴cosα===，
則sinα==，
故=sinαcos+cosαsin=．
（2）設．
在△POQ中因為PQ²=（a-b）²+8b²=16，
即16=a²+9b²-2ab≥6ab-2ab=4ab，所以ab≤4     
∴．當且僅當a=3b，即取得等號．

所以△POQ面積最大時，點P，Q的坐標分別為．

分析：（1）由射線l的方程找出斜率即為α的正切值，根據α為第一象限的角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinα和cosα的值，然后利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值把所求的式子化簡后，把各自的值代入即可求出值；
（2）由P和Q的坐標，利用兩點間的基本公式表示出PQ²，把PQ的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，且求出ab取最大值時a與b的值，利用三角形的面積公式，由OP的長與Q點的縱坐標乘積的一半即可表示出三角形POQ的面積，把ab的最大值代入即可求出面積的最大值，然后把求出的a與b代入P和Q的坐標中確定出兩點坐標．
點評：此題考查了直線傾斜角與斜率之間的關系，同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的正弦函數公式以及基本不等式，其中根據射線的斜率得到tanα的值是解第一問的突破點．