Question

已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a³＋b³＋ab－a²－b²＝0．

Answer 1

答案：
解析：

證明：必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a．∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0． 　　充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0． 　　又∵ab≠0，∴a≠0且b≠0．∴a2－ab＋b2≠0．∴a＋b－1＝0．∴a＋b＝1．

提示：

證明充要條件時，要弄清誰是誰的充要條件，誰是條件，誰是結論，充分性是證明由條件推出結論，必要性是證明由結論推出條件．本題中“a3＋b3＋ab－a2－b2＝0”是條件，“a＋b＝1”是結論．