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在平面直角坐標系中，已知焦距為4的橢圓的左、右頂點分別為，橢圓的右焦點為，過作一條垂直于軸的直線與橢圓相交于，若線段的長為。
（1）求橢圓的方程；
（2）設是直線上的點，直線與橢圓分別交于點，求證：直線必過軸上的一定點，并求出此定點的坐標；
（1）依題意，橢圓過點，故，解得�！�2分）
橢圓的方程為�！�5分）
（2）設，直線的方程為，……………（6分）

代入橢圓方程，得， ……（7分）
設，則，
，故點的坐標為�！�8分）
同理，直線的方程為，代入橢圓方程，，
設，則，。
可得點的坐標為�！�10分）
①若時，直線的方程為，與軸交于點；……11
②若，直線的方程為，…（13分）
令，解得。綜上所述，直線必過軸上的定點。
略
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為且,設短軸的一個端點為,原點到直線的距離為，過原點和軸不重合的直線與橢圓相交于兩點，且.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 是否存在過點的直線與橢圓相交于不同的兩點且使得成立？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知橢圓C：＋＝1的左．右焦點為，離心率為，直線與x軸、y軸分別交于點，是直線與橢圓C的一個公共點，是點關于直線的對稱點，設＝
（Ⅰ）證明：； （Ⅱ）確定的值，使得是等腰三角形.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓兩個焦點的坐標分別為，，并且經過點．過左焦點，斜率為的直線與橢圓交于，兩點．設，延長，分別與橢圓交于兩點．
（I）求橢圓的標準方程；  （II）若點，求點的坐標；
（III）設直線的斜率為，求證：為定值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則（   ）．
A．50B．35C．32D．41

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設分別是橢圓： ()的左、右焦點，過斜率為1的直線與該橢圓相交于P，Q兩點，且，，成等差數列．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設點M(0，－1)滿足|MP|＝|MQ|，求該橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在橢圓中,為橢圓上的一點，過坐標原點的直線交橢圓于兩點，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為,連接,
（1）若直線與的斜率均存在，問它們的斜率之積是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，說明理由；
（2）若為的延長線與橢圓的交點，求證：.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若橢圓的一個焦點坐標為(0,1)，則實數的值等于_____        ____,

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

. (本小題滿分12分）
如圖，設拋物線C1:的準線與x軸交于F1，焦點為F2；以F1,F2為焦點，離心率的橢圓C2與拋物線C1在X軸上方的交點為P,延長PF2交拋物線于點Q，M是拋物線上一動點，且M在P與Q之間運動.
(I)當m =1時，求橢圓C2的方程；
(II)當的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數時，求面積的最大值.

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