Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象過點（0，1）和（1，4），且對于任意的實數(shù)x，不等式f（x）≥4x恒成立．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)g（x）=kx+1，若F（x）=log₂[g（x）-f（x）]在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用圖象過點（0，1）和（1，4），將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，再結(jié)合不等式f（x）≥4x對于任意的x∈R均成立，移項后變成二次函數(shù)的一般形式，只需△≤0即可求得a，b，c的值，最后寫出函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（2）由于F（x）=log₂（g（x）-f（x））=log₂（-x²+（k-2）x），設(shè)h（x）=-x²+（k-2）x，由二次函數(shù)的性質(zhì)，比較對稱軸和區(qū)間端點的關(guān)系即可．

解答：解：（1）f（0）=1⇒c=1，f（1）=4⇒a+b+c=4

∴f(x)=ax2+(3-a)x+1 f(x)≥4x即ax2-(a+1)x+1≥0恒成立得 由 a＞0 (a+1)2-4a≤0 ⇒a=1 ∴f(x)=x2+2x+1

（2）F（x）=log₂（g（x）-f（x））=log₂（-x²+（k-2）x）
由F（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)得h（x）=-x²+（k-2）x在[1，2]上為增函數(shù)且恒正
故

k-2 2 ≥2 -1+k-2＞0

⇒k≥6，
實數(shù)k的取值范圍k≥6．

點評：本題考查二次函數(shù)在R中的恒成立問題，可以通過判別式法予以解決，二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有開口方向和對稱軸的位置共同決定，在沒說明開口方向時一定要注意比較對稱軸和區(qū)間端點的關(guān)系．