Question

【題目】已知數(shù)列{an}的首項， ， ．

(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

(2)記，若Sn<100，求最大正整數(shù)n；

(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使m，s，n成等差數(shù)列，且am－1，as－1，an－1成等比數(shù)列？如果存在，請給以證明；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）99；（3）不存在

【解析】試題分析：（1）根據(jù)可得，根據(jù)，可知，即，據(jù)此即可求證；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得，進而即可表示出，對其進行整理可得，由于，所以有，即，至此，即可得到最大正整數(shù) ；（3）首先假設(shè)存在，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再根據(jù)等比的性質(zhì)可得，結(jié)合（2）中得到的通項公式可將其化簡為，接下來再根據(jù)均值不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，至此，再根據(jù)互不相等即可得結(jié)果.

試題解析：(1)因為＝＋，所以－1＝－.又因為－1≠0，所以－1≠0(n∈N*)．

所以數(shù)列為等比數(shù)列．

(2)由(1)可得－1＝·n－1，所以＝2·n＋1.

Sn＝＋＋…＋＝n＋2＝n＋2·＝n＋1－，

若Sn<100，則n＋1－<100，因為函數(shù)y= n＋1－單調(diào)增， 所以最大正整數(shù)n的值為99.

(3)假設(shè)存在，則m＋n＝2s，(am－1)(an－1)＝(as－1)2，

因為an＝，所以＝2，

化簡得3m＋3n＝2·3s，因為3m＋3n≥2·＝2·3s，

當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時等號，又m，s，n互不相等，所以不存在．