Question

已知數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，其公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

anan+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，求S₂₀₁₃．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)能推導(dǎo)出（1+d）²=1×（1+4d），由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由a_n=2n-1，得到bn=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出S₂₀₁₃．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，其公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
∴（1+d）²=1×（1+4d），
解得d=2，或d=0（舍），
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵a_n=2n-1，
∴bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S₂₀₁₃=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

4025

-

1

4027

）=

2013

4027

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．