Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若是的唯一極值點(diǎn)，求.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間.（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>．，令，解得．即可得出單調(diào)性．

（Ⅱ）由題意可得：，，求出導(dǎo)函數(shù)．

由于是的唯一極值點(diǎn)，則有以下兩種情形：情形一：對(duì)恒成立．情形二：對(duì)恒成立．

設(shè)，，．．對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解：（Ⅰ）∵，∴當(dāng)時(shí)，，

定義域，，

令，得.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.

綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間.

（Ⅱ）由題意，，，

，，

由于是的唯一極值點(diǎn)，則有以下兩種情形：

（1）對(duì)任意恒成立；

（2）對(duì)任意恒成立；

設(shè)，，且有，，

①當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

所以對(duì)任意的恒成立，符合題意.

②當(dāng)時(shí)，，，∵，

∴在單調(diào)遞增.

又，，所以存在，使得，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以，這與題意不符，故.