Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，AA₁=2，∠ABC=90°，M為棱CC₁上的中點．
（1）求三棱錐C₁-MAB的體積；
（2）求二面角C₁-AB-C的平面角．

Answer 1

解：（1）在直角三角形ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，所以AC=，所以AC邊上的高為
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴B到平面C₁MA的距離為
∵AA₁=2，M為棱CC₁上的中點，
∴△C₁MA的面積為=
∴三棱錐C₁-MAB的體積等于三棱錐B-C₁MA的體積，即=；
（2）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，∴C₁B⊥AB
∴∠C₁BC為二面角C₁-AB-C的平面角
∵BC=1，CC₁=2，∴tan∠C₁BC==2
∴∠C₁BC=arctan2
∴二面角C₁-AB-C的平面角為arctan2．
分析：（1）利用三棱錐C₁-MAB的體積等于三棱錐B-C₁MA的體積，即可求解；
（2）確定∠C₁BC為二面角C₁-AB-C的平面角，即可得到結論．
點評：本題考查三棱錐體積的計算，考查面面角，考查學生轉化問題的能力，屬于中檔題．