如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)證明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.
(Ⅰ)因為 又是平面PAC內(nèi)的兩條相較直線,所以BD平面PAC, 而平面PAC,所以. (Ⅱ)設(shè)AC和BD相交于點O,連接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC, 所以是直線PD和平面PAC所成的角,從而. 由BD平面PAC,平面PAC,知. 在中,由,得PD=2OD. 因為四邊形ABCD為等腰梯形,,所以均為等腰直角三角形,從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積 在等腰三角形AOD中, 所以 故四棱錐的體積為. |
本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計算.第一問只要證明BD⊥平面PAC即可,第二問由(Ⅰ)知,BD⊥平面PAC,所以∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面積和棱錐的高,由V=×S×PA算得體積. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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