精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．

(Ⅰ)證明：BD⊥PC；

(Ⅱ)若AD＝4，BC＝2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P－ABCD的體積．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)因為

　　又是平面PAC內的兩條相較直線，所以BD平面PAC，

　　而平面PAC，所以．

　　(Ⅱ)設AC和BD相交于點O，連接PO，由(Ⅰ)知，BD平面PAC，

　　所以是直線PD和平面PAC所成的角，從而．

　　由BD平面PAC，平面PAC，知．

　　在中，由，得PD＝2OD．

　　因為四邊形ABCD為等腰梯形，，所以均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積

　　在等腰三角形ＡＯＤ中，

　　所以

　　故四棱錐的體積為．


提示：

本題考查空間直線垂直關系的證明，考查空間角的應用，及幾何體體積計算．第一問只要證明BD⊥平面PAC即可，第二問由(Ⅰ)知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面積和棱錐的高，由V＝×S×PA算得體積．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，且PD=a，PA=PC=
2
a，
（1）求證：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角A-PB-D的平面角的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=
90°，側面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=
12
AD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）側棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，對角線AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直線PA與底面ABCD所成的角為60°，M為PD上的一點．
（Ⅰ）證明：PD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大�。�
（3）求點A到面EBD的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F分別是AB，PB的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）設PD=AD=a，求三棱錐B-EFC的體積．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案