已知不等式ax2+bx+c>0的解集為(1,t),記函數(shù)f(x)=ax2+(a-b)x-c.

(1)求證:函數(shù)y=f(x)必有兩個(gè)不同的零點(diǎn);

(2)若函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為m,n,求|m-n|的取值范圍;

(3)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,b,c及t使得函數(shù)y=f(x)在[-2,1]上的值域?yàn)閇-6,12]?若存在,求出t的值及函數(shù)y=f(x)的解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

(1)見(jiàn)解析 (2)(,+∞) (3)f(x)=-2x2-8x+4.

【解析】【解析】
(1)證明:由題意知a+b+c=0,且->1,a<0且>1,

∴ac>0,

∴對(duì)于函數(shù)f(x)=ax2+(a-b)x-c有Δ=(a-b)2+4ac>0,

∴函數(shù)y=f(x)必有兩個(gè)不同零點(diǎn).

(2)|m-n|2=(m+n)2-4mn==()2+8+4,

由不等式ax2+bx+c>0的解集為(1,t)可知,

方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)解分別為1和t(t>1),

由根與系數(shù)的關(guān)系知=t,

∴|m-n|2=t2+8t+4,t∈(1,+∞).

∴|m-n|>,∴|m-n|的取值范圍為(,+∞).

(3)假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)a,b,c及t,

∵f(x)=ax2+(a-b)x-c=a[x2+(1-)x-]

=a[x2+(1+)x-]

=a[x2+(2+t)x-t](t>1),

∴f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1-<-.

∴f(x)在[-2,1]上的最小值為f(1)=3a=-6,則a=-2.

要使函數(shù)y=f(x)在[-2,1]上的值域?yàn)閇-6,12],

只要f(x)max=12即可.

①若-1-≤-2,即t≥2,f(x)max=f(-2)=12,則有6t=12,

∴t=2.

此時(shí),a=-2,b=6,c=-4,t=2,∴f(x)=-2x2-8x+4.

②若-1->-2,∴1<t<2,f(x)max=f(-1-)==12.

∴t=2或t=-10,舍去.

綜上所述,當(dāng)a=-2,b=6,c=-4,t=2時(shí),函數(shù)y=f(x)在[-2,1]上的值域?yàn)閇-6,12],此時(shí)函數(shù)的解析式為f(x)=-2x2-8x+4.

 

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