Question

已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(1，t)，記函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.

(1)求證：函數(shù)y＝f(x)必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

(2)若函數(shù)y＝f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為m，n，求|m－n|的取值范圍；

(3)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，b，c及t使得函數(shù)y＝f(x)在[－2,1]上的值域?yàn)閇－6,12]？若存在，求出t的值及函數(shù)y＝f(x)的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析 （2）(，＋∞) （3）f(x)＝－2x2－8x＋4.

【解析】【解析】
(1)證明：由題意知a＋b＋c＝0，且－>1，a<0且>1，

∴ac>0，

∴對(duì)于函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，

∴函數(shù)y＝f(x)必有兩個(gè)不同零點(diǎn)．

(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝()2＋8＋4，

由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(1，t)可知，

方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)解分別為1和t(t>1)，

由根與系數(shù)的關(guān)系知＝t，

∴|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．

∴|m－n|>，∴|m－n|的取值范圍為(，＋∞)．

(3)假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)a，b，c及t，

∵f(x)＝ax2＋(a－b)x－c＝a[x2＋(1－)x－]

＝a[x2＋(1＋)x－]

＝a[x2＋(2＋t)x－t](t>1)，

∴f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1－<－.

∴f(x)在[－2,1]上的最小值為f(1)＝3a＝－6，則a＝－2.

要使函數(shù)y＝f(x)在[－2,1]上的值域?yàn)閇－6,12]，

只要f(x)max＝12即可．

①若－1－≤－2，即t≥2，f(x)max＝f(－2)＝12，則有6t＝12，

∴t＝2.

此時(shí)，a＝－2，b＝6，c＝－4，t＝2，∴f(x)＝－2x2－8x＋4.

②若－1－>－2，∴1<t<2，f(x)max＝f(－1－)＝＝12.

∴t＝2或t＝－10，舍去．

綜上所述，當(dāng)a＝－2，b＝6，c＝－4，t＝2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)在[－2,1]上的值域?yàn)閇－6,12]，此時(shí)函數(shù)的解析式為f(x)＝－2x2－8x＋4.