已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x、y∈R時(shí)，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求證：f(x)＋f(－x)＝0；

(2)若f(－3)＝a，試用a表示f(24)；

(3)如果x∈R時(shí)，f(x)＜0，且f(1)＝，試求f(x)在區(qū)間[－2，6]上的最大值和最小值．

答案：
解析：

　　(1)證明：令x＝y(tǒng)＝0得f(0)＝0，再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，

　　∴f(－x)＋f(x)＝0．

　　(2)解：由f(－3)＝a得f(3)＝－a，

　　∴f(24)＝f(3＋3＋…＋3)＝8f(3)＝－8a．

　　(3)解：設(shè)x1＜x2，則f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)．

　　又∵x2－x1＞0，

　　∴f(x2－x1)＜0．

　　∴f(x1)＋f(x2－x1)＜f(x1)．

　　∴f(x2)＜f(x1)．

　　∴f(x)在R上是減函數(shù)．

　　∴f(x)max＝f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，

　　f(x)min＝f(6)＝6f(1)＝6×()＝－3．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1 ( 當(dāng)x為有理數(shù)時(shí))
0(當(dāng)x為無理數(shù)時(shí))
，給出下列關(guān)于f（x）的性質(zhì)：
①f（x）是周期函數(shù)，3是它的一個(gè)周期；②f（x）是偶函數(shù)；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同
正確的個(gè)數(shù)為（　�。�
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=,求當(dāng)x為何值時(shí),函數(shù)有最大值?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f(x)=
1 ( 當(dāng)x為有理數(shù)時(shí))
0(當(dāng)x為無理數(shù)時(shí))
，給出下列關(guān)于f（x）的性質(zhì)：
①f（x）是周期函數(shù)，3是它的一個(gè)周期；②f（x）是偶函數(shù)；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同
正確的個(gè)數(shù)為（　�。�
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=.

(1)當(dāng)a＞0時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x)＜0；

(2)若不等式f(x)≥f(1)對x∈R恒成立，求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；

(2)如果x>0時(shí)，f(x)<0，并且f(1)＝－，試求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最值．

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