Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）為奇函數(shù)，且f（x）在x=1處取得極大值2．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）記g(x)=

f(x)

x

+(k+1)lnx，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)k=2時，若函數(shù)y=g（x）的圖象在直線y=x+m的下方，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求出b，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在x=1取得極大值2，建立a與c的方程組，解之即可求出函數(shù)y=f（x）的解析式
（2）先求函數(shù)的定義域，討論k與-1的大小，然后利用導(dǎo)數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性即可．
（3）令h（x）=g（x）-（x+m）=-x²-x+3lnx+3-m，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可．

解答：解：（1）由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），代入得，b=0
∴f'（x）=3ax²+c，且f（x）在x=1取得極大值2．
∴

f′(1)=0 f(1)=2

?

3a+c=0 a+c=2.

解得a=-1，c=3，
∴f（x）=-x³+3x
（2）∵g（x）=-x²+3+（k+1）lnx，
∴g′(x)=-2x+(k+1)

1

x

=

-2x2+(k+1)

x

因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，+∞），所以
①當(dāng)，k=-1時，g'（x）=-2x＜0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)k＜-1時，k+1＜0，
∵x＞0，
∴g′(x)=

-2x2+(k+1)

x

＜0．可得函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
③k＞-1時，k+1＞0，令g'（x）＞0，得

-2x2+(k+1)

x

＞0，
∵x＞0，
∴-2x²+（k+1）＞0，得-

k+1 2

＜x＜

k+1 2

，結(jié)合x＞0，得0＜x＜

k+1 2

；
令g'（x）＜0，得

-2x2+(k+1)

x

＜0，同上得2x²＞（k+1），解得x＞

k+1 2

，
∴k＞-1時，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

k+1 2

），單調(diào)遞增區(qū)間為（

k+1 2

，+∞）
綜上，當(dāng)k≤-1時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)k＞-1時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

k+1 2

），單調(diào)遞減區(qū)間為（

k+1 2

，+∞）（包含

k+1 2

不扣分）
（3）當(dāng)k=2時，g（x）=-x²+3+3lnx，
令h（x）=g（x）-（x+m）=-x²-x+3lnx+3-m，（11分）
h′(x)=-2x-1+

3

x

，
令h′（x）=0，

-2x2-x+3

x

=0，得x=1，x=-

3

2

（舍去）．
由函數(shù)y=h（x）定義域?yàn)椋?，+∞），則當(dāng)0＜x＜1時，h'（x）＞0，
當(dāng)x＞1時h'（x）＜0，
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)h（x）取得最大值1-m．
由1-m＜0得m＞1
故m的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)解析式的求解，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是高考中�？嫉念}型，屬于中檔題．