【題目】如圖，四棱錐中，平面，，，，.是棱上的一點(diǎn)，.

（1）求證：平面平面；

（2）若二面角的余弦值為.多面體的體積為，求.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由已知求出，在中，結(jié)合余弦定理求出，從而可知，由底面可推出，可證明面，進(jìn)而可證明面面垂直.

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為x軸，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).由（1）知，取平面的法向量為，通過(guò)求出，，則可知平面的法向量為，進(jìn)而由二面角的余弦值為可整理得；分別求出四棱錐的體積，的體積，則結(jié)合多面體的體積為，進(jìn)而可求出的值.

解：（1）四邊形中，，，所以.

在中，，，所以，.

則在中，，，，

所以，解得：.

由，知，即.

因?yàn)?/span>底面，平面，所以.

因?yàn)?/span>，是平面上的兩條相交直線(xiàn)，所以面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）由（1）知：，，兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為x軸，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.

設(shè)，則，.

由（1）知，底面，故取平面的法向量為.

又，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

取，，得.

所以，由條件，知：，

整理得：①.四棱錐的體積，

又到面距離，所以的體積，

則多面體的體積為②，

由①，②得：，解得：或.

因?yàn)?/span>E是棱上的一點(diǎn)，所以.從而，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）記，當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若，求證：對(duì)任意，與在上有唯一公共點(diǎn)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年是我國(guó)垃圾分類(lèi)逐步凸顯效果關(guān)鍵的一年.在國(guó)家高度重視，重拳出擊的前提下，高強(qiáng)度、高頻率的宣傳教育能有效縮短我國(guó)生活垃圾分類(lèi)走入世界前列所需的時(shí)間，打好垃圾分類(lèi)這場(chǎng)“持久戰(zhàn)”，“全民戰(zhàn)”.某市做了一項(xiàng)調(diào)查，在一所城市中學(xué)和一所縣城中學(xué)隨機(jī)各抽取15名學(xué)生，對(duì)垃圾分類(lèi)知識(shí)進(jìn)行問(wèn)答，滿(mǎn)分為100分，他們所得成績(jī)?nèi)缦拢?/span>

城市中學(xué)學(xué)生成績(jī)分別為：73 71 83 86 92 70 88 93 73 97 87 88 74 86 85

縣城中學(xué)學(xué)生成績(jī)分別為：60 64 71 91 60 76 72 85 81 72 62 74 73 63 72

（1）根據(jù)上述兩組數(shù)據(jù)在圖中完成兩所中學(xué)學(xué)生成績(jī)的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩所中學(xué)學(xué)生成績(jī)的平均分及分散程度；（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）

（2）從城市中學(xué)成績(jī)?cè)?/span>80分以上的學(xué)生中抽取4名，記這4名學(xué)生的成績(jī)?cè)?/span>90分以上的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，直棱柱中，底面是菱形，，點(diǎn)F，Q是棱，的中點(diǎn)，，是棱，上的點(diǎn)，且．

（1）求證：平面；

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】超級(jí)細(xì)菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來(lái)越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用，病人會(huì)因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y，高燒，痙攣，昏迷甚至死亡.某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份血液再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

（1）運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若，試求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若P與抗生素計(jì)量相關(guān)，其中，，…，（）是不同的正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，對(duì)任意的（），都有.

（i）證明：為等比數(shù)列；

（ii）當(dāng)時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，，，，

，，，

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】今年，新型冠狀病毒來(lái)勢(shì)兇猛，老百姓一時(shí)間“談毒色變”，近來(lái)，有關(guān)喝白酒可以預(yù)防病毒的說(shuō)法一直在民間流傳，更有人拿出“醫(yī)”字的繁體字“醫(yī)”進(jìn)行解讀為：醫(yī)治瘟疫要喝酒，為了調(diào)查喝白酒是否有助于預(yù)防病毒，我們調(diào)查了1000人的喝酒生活習(xí)慣與最終是否得病進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，表格如下：

每周喝酒量（兩）

人數(shù)

100

300

450

100

規(guī)定：①每周喝酒量達(dá)到4兩的叫常喝酒人，反之叫不常喝酒人；

②每周喝酒量達(dá)到8兩的叫有酒癮的人.

（1）求值，從每周喝酒量達(dá)到6兩的人中按照分層抽樣選出6人，再?gòu)倪@6人中選出2人，求這2人中無(wú)有酒癮的人的概率；

（2）請(qǐng)通過(guò)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，填寫(xiě)完下面的列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為是否得病與是否常喝酒有關(guān)？并對(duì)民間流傳的說(shuō)法做出你的判斷.

常喝酒

不常喝酒

合計(jì)

得病

不得病

250

650

合計(jì)

參考公式：，其中

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，正確的是（ ）

A.若輸入a，b，c的值依次為1，2，4，則輸出的值為5

B.若輸入a，b，c的值依次為2，3，5，則輸出的值為7

C.若輸入a，b，c的值依次為3，4，5，則輸出的值為15

D.若輸入a，b，c的值依次為2，3，4，則輸出的值為10

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某人經(jīng)營(yíng)淡水池塘養(yǎng)草魚(yú)，根據(jù)過(guò)去期的養(yǎng)殖檔案，該池塘的養(yǎng)殖重量（百斤）都在百斤以上，其中不足百斤的有期，不低于百斤且不超過(guò)百斤的有期，超過(guò)百斤的有期．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該池塘的草魚(yú)重量的增加量（百斤）與使用某種餌料的質(zhì)量（百斤）之間的關(guān)系如圖所示．

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸方程；如果此人設(shè)想使用某種餌料百斤時(shí)，草魚(yú)重量的增加量須多于百斤，請(qǐng)根據(jù)回歸方程計(jì)算，確定此方案是否可行？并說(shuō)明理由．

（2）養(yǎng)魚(yú)的池塘對(duì)水質(zhì)含氧量與新鮮度要求較高，某商家為該養(yǎng)殖戶(hù)提供收費(fèi)服務(wù)，即提供不超過(guò)臺(tái)增氧沖水機(jī)，每期養(yǎng)殖使用的沖水機(jī)運(yùn)行臺(tái)數(shù)與魚(yú)塘的魚(yú)重量有如下關(guān)系：

魚(yú)的重量（單位：百斤）

沖水機(jī)只需運(yùn)行臺(tái)數(shù)

若某臺(tái)增氧沖水機(jī)運(yùn)行，則商家每期可獲利千元；若某臺(tái)沖水機(jī)未運(yùn)行，則商家每期虧損千元．視頻率為概率，商家欲使每期沖水機(jī)總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)提供幾臺(tái)增氧沖水機(jī)？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（）.

（Ⅰ）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)，若，若函數(shù)對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案