如圖所示幾何體是正方體ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐B1-A1BC1后所得，點M為A1C1的中點．
（1）求證：A1C1⊥平面MBD；
（2）當正方體棱長等于
3
時，求三棱錐D-A1BC1的體積．
考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）分別證明出DM⊥A1C1和BM⊥A1C1，進而根據(jù)線面垂直的判定定理證明出A1C1⊥平面MBD；
（2）先求得M到BD的距離進而求得△MBD的面積，進而利用體積公式求得答案．
解答： 解：
（1）證明：因為幾何體是正方體ABCD-A1B1C1D1截取三棱錐B1-A1BC1后所得，
DA1=DC1
A1M=C1M
⇒DM⊥A1C1
BA1=BC1
A1M=C1M
⇒BM⊥A1C1
DM∩BM=M
⇒A1C1⊥平面MBD；
（2）由題意知BD=
6
，點M到BD的距離為
3
，
則△MBD的面積為S△MBD=
1
2
×
6
×
3
=
3
2
2
，由（1）知A1C1⊥平面MBD
所以VD-A1BC1=
1
3
S△MBD•A1C1=
1
3
×
3
2
2
×
6
=
3
．
點評：本小題以正方體為載體，考查立體幾何的基礎(chǔ)知識．本題通過分層設計，考查了空間直線與平面的垂直關(guān)系，簡單幾何體體積的求法，考查學生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b，c∈R﹚．
（1）|f﹙1﹚|≤|f﹙-1﹚|≤
1
4
成立，求b2+c2的取值范圍；  
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1）上有兩個零點，求證：c2+﹙1+b﹚c≤
1
16
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

解關(guān)于x的不等式
（1）（x2-x）2-4（x2-x）-12＜0
（2）（x-2）（ax-2）＞0（a∈R）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

計算：23+lo
g
 
2
8．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C對應的邊為a，b，c，且2R為△ABC的外接圓的直徑，f（C）=2R（sinAsinC+sinBcosC）+1．
（1）若a=b，求函數(shù)f（C）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a2+b2=2a+2
3
b-4，f（C）≥2，求角C的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，試比較EF和
1
2
（AD+BC）的大小，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB=1，AA1=
2
，D為AA1中點，BD與AB1交于點O，CO丄側(cè)面ABB1A1．
（Ⅰ）證明：BC丄AB1；
（Ⅱ）若OC=OA，求二面角C1-BD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=
2
，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
（3）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為
3
2
？若存在，求出
AQ
QD
的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（
x
+2）=x+2
x
，則函數(shù)f（x）的值域為
 
．

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