Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A(1，

1

2

)．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）過(guò)原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B，C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由“左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0）”得到橢圓的半長(zhǎng)軸a，半焦距c，再求得半短軸b最后由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上求得方程．
（2）設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，y₀），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，分別求得x₀，y₀，代入橢圓方程，可求得線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程．
（3）分直線BC垂直于x軸時(shí)和直線BC不垂直于x軸兩種情況分析，求得弦長(zhǎng)|BC|，原點(diǎn)到直線的距離建立三角形面積模型，再用基本不等式求其最值．

解答：解：（1）由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2，半焦距c=

3

，則半短軸b=1．
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1
（2）設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，y₀），
由

x= x0+1 2 y= y0+ 1 2 2

得

x0=2x-1 y0=2y- 1 2

由，點(diǎn)P在橢圓上，得

(2x-1)2

4

+(2y-

1

2

)2=1，
∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1．
（3）當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí)，BC=2，
因此△ABC的面積S_△ABC=1．
當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí)，說(shuō)該直線方程為y=kx，代入

x2

4

+y2=1，
解得B（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），C（-

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），
則|BC|=4

1+k2

1+4k2

，又點(diǎn)A到直線BC的距離d=

|k- 1 2 |

1+k2

，
∴△ABC的面積S_△ABC=

1

2

|BC|•d=

|2k-1|

1+4k2

于是S_△ABC=

4k2-4k+1 4k2+1

=

1- 4k 4k2+1

由

4k

4k2+1

≥-1，得S_△ABC≤

2

，其中，當(dāng)k=-

1

2

時(shí)，等號(hào)成立．
∴S_△ABC的最大值是

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了三角形面積模型的建立和解模型的能力．