Question

函數(shù)f（x）=x²-2（2a-1）x+8?（a∈R）．
（1）若f（x）在[2，+∞）的最小值為6，求a的值．
（2）若f（x）在[a，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且f（x）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：由題意函數(shù)圖象開口向上，且其對稱軸為x=2a-1，
（1）當(dāng)2a-1≥2，即a≥時，有f（x）_min=f（2a-1）=6
即（2a-1）²-2（2a-1）（2a-1）+8=6，即4a²-4a+9=6，即4a²-4a+3=0，由于△＜0，此方程無解
當(dāng)2a-1＜2，即a＜時，有f（x）_min=f（2）=6
即4-4（2a-1）+8=6，解得a=＜，符合題意．
故
（2）若f（x）在[a，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，由題意知，需要2a-1≤a，解得a≤1 ①
又由f（x）在[a，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)知f（a）＞0，即a²-2（2a-1）a+8＞0
解得
又由①得
故實數(shù)a的取值范圍是
分析：函數(shù)f（x）=x²-2（2a-1）x+8圖象開口向上，且其對稱軸為x=2a-1，
（1）討論對稱軸與區(qū)間的位置，利用單調(diào)性確定出最小值在何處取到，利用最小最小值為6建立方程求參數(shù)a的值即可．
（2）本題要根據(jù)參數(shù)a的符號來確定函數(shù)在[a，+∞）上單調(diào)性與已知比對，來求參數(shù)a的范圍．
點評：本題考點是二次函數(shù)的性質(zhì)，考查利用二次函數(shù)的最值建立方程求參數(shù)，本題需要根據(jù)條件進行屋梁轉(zhuǎn)化，且轉(zhuǎn)化時要根據(jù)情況進行分類，題目有一定的綜合性，做題時易考慮不完善造成失分．