Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)平面上的矩形OABC中，|OA|=2，|OC|=

3

，點P，Q滿足

OP

=λ

OA

，

AQ

=1(1-λ)

AB

(λ∈R)，點D是C關(guān)于原點的對稱點，直線DP與CQ相交于點M．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）若過點F（-1，0）且斜率不為零的直線與點M的軌跡相交于G，H兩點，直線AG和AH與定直線l：x=-4分別相交于點R，S，試判斷以RS為直徑的圓是否經(jīng)過點F？說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）設(shè)出動點M的坐標(biāo)，由已知求出A、B、C、D的坐標(biāo)，由已知的向量關(guān)系得到DP和CQ的直線方程，兩式相乘消參后得到點M的軌跡方程；
（2）設(shè)出過點F（-1，0）且斜率不為0的直線CH的方程，和（1）中求出的曲線方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到G、H兩點的縱坐標(biāo)的和與積，把直線AG、AH的方程分別用G、H的坐標(biāo)表示，求出R和S的坐標(biāo)，代入數(shù)量積

FR

•

FS

，整理后再代入根與系數(shù)關(guān)系，化簡后可得

FR

•

FS

=0，從而證得答案．

解答： 解：（1）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），A（2，0），B（2，

3

），C（0，

3

），D（0，-

3

）．
由

OP

=λ

OA

，得點P坐標(biāo)為（2λ，0），
由

AQ

=(1-λ)

AB

，得點Q的坐標(biāo)為（2，

3

(1-λ)）．
于是，當(dāng)λ≠0時，
直線DP的方程為：y+

3

=

3

2λ

x，①
直線CQ的方程為：y-

3

=

3 λ

-2

x．②
①×②得，y2-3=-

3

4

x2，即

x2

4

+

y2

3

=1．
當(dāng)λ=0時，點M即為點C，而點C的坐標(biāo)（0，

3

）也滿足上式，
故點M的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)過點F（-1，0）且斜率不為0的直線CH的方程為x=my-1，且設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²-6my-9=0    ③
由于方程③的判別式△=（-6m）²+36（3m²+4）＞0，
∴y₁，y₂是方程③的兩根，且y1+y2=

6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

．
又A（2，0），
∴直線AG的方程為y=

y1

x1-2

(x-2)，因此點R的坐標(biāo)為(-4，

-6y1

x1-2

)．
同理可得，直線AH的方程為y=

y2

x2-2

(x-2)，因此點S的坐標(biāo)為(-4，

-6y2

x2-2

)．
∴

FR

•

FS

=(-3，

-6y1

x1-2

)•(-3，

-6y2

x2-2

)=9+

36y1y2

(x1-2)(x2-2)

．
又（x₁-2）（x₂-2）=（my₁-3）（my₂-3）=m²y₁y₂-3m（y₁+y₂）+9
=m2•

-9

3m2+4

-3m•

6m

3m2+4

+9=

36

3m2+4

．
于是

FR

•

FS

=9+

36y1y2

(x1-2)(x2-2)

=9+

36×(-9)

3m2+4

×

3m2+4

36

=0．
故點F在以RS為直徑的圓周上．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，是直線與圓錐曲線的綜合題，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題，是高考試卷中的壓軸題．