Question

（示范高中）如圖，在河的對(duì)岸可以看到兩個(gè)目標(biāo)物M，N，但不能到達(dá)，在河岸邊選取相距40米的兩個(gè)目標(biāo)物P，Q兩點(diǎn)，測(cè)得∠MPN=75°，∠NPQ=45°，∠MQP=30°，∠MQN=45°，試求兩個(gè)目標(biāo)物M，N之間的距離．

Answer 1

分析：在△MPQ和△NPQ中，利用正弦定理分別求MQ、NQ；在△MQN中，利用余弦定理可求兩個(gè)目標(biāo)物M、N之間的距離．

解答：解：根據(jù)題意，知|PQ|=40，∠PMQ=30°，∠PNQ=60°
在△MPQ中，由正弦定理，得   

|MQ|

sin∠MPQ

=

|PQ|

sin∠PMQ

即    |MQ|=

|PQ|sin∠MPQ

sin∠PMQ

=

40sin120°

sin30°

=40

3

…（4分）
在△NPQ中，由正弦定理，得   

|NQ|

sin∠NPQ

=

|PQ|

sin∠PNQ

即   |NQ|=

|PQ|sin∠NPQ

sin∠PNQ

=

40sin45°

sin60°

=

40 6

3

…（8分）
在△MQN中，由余弦定理，知|MN|²=|MQ|²+|NQ|²-2|MQ||NQ|cos∠MQN
故        |MN|2=4800+

3200

3

-2×40

3

×

40 6

3

×cos45°=

8000

3

從而      |MN|=

40 15

3

…（12分）
故兩個(gè)目標(biāo)物M、N之間的距離是

40 15

3

米

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題．