已知橢圓C:數(shù)學公式=1(a>b>0)的長軸長為4,且離心率e=數(shù)學公式
(I)求橢圓的方程
(II)橢圓C:數(shù)學公式=1(a>b>0)的左頂點為A,右頂點為B,點S是橢圓C上位于x軸上方的動點,直線AS,BS與直線l:x=3分別交于M,N兩點,求線段MN的長度的最小值.

解:(I)由題設可得2a=4,=
∴a=2,c=
∴b2=a2-c2=2
∴橢圓的方程為;
(II)由題意,直線AS的斜率k存在,且k>0,故可設AS的方程為y=k(x+2),代入橢圓方程,
可得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0
設S(x1,y1),則(-2)×x1=,∴,∴
∵B(2,0),可得SB的方程為
化簡可得
,可得,∴N(3,
故|MN|=||
∵k>0,∴|MN|=
當且僅當5k=,即k=時等號成立
∴k=時,線段MN的長度的最小值為
分析:(I)利用橢圓的長軸長為4,且離心率e=,求出幾何量,從而可得橢圓的方程;
(II)設出AS的方程代入橢圓方程,利用韋達定理,確定S的坐標,從而可得SB的方程,與直線x=3聯(lián)立,求出N的坐標,進而可得|MN|,利用基本不等式,可得結論.
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查韋達定理的運用,考查基本不等式的運用,屬于中檔題.
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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
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A.
B.
C.
D.

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已知橢圓C:+=1(a>b>0),直線l為圓O:x2+y2=b2的一條切線,記橢圓C的離心率為e.
(1)若直線l的傾斜角為,且恰好經過橢圓的右頂點,求e的大小;
(2)在(1)的條件下,設橢圓的上頂點為A,左焦點為F,過點A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點,過A、B、F三點的圓恰好與直線l:x+y+3=0相切,求橢圓方程.

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已知橢圓C:+=1(a>b>0),直線l為圓O:x2+y2=b2的一條切線,記橢圓C的離心率為e.
(1)若直線l的傾斜角為,且恰好經過橢圓的右頂點,求e的大。
(2)在(1)的條件下,設橢圓的上頂點為A,左焦點為F,過點A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點,過A、B、F三點的圓恰好與直線l:x+y+3=0相切,求橢圓方程.

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已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,且在x軸上的頂點分別為

(1)求橢圓方程;

(2)若直線軸交于點T,P為上異于T的任一點,直線分別與橢圓交于M、N兩點,試問直線MN是否通過橢圓的焦點?并證明你的結論.

 

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