Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的長軸長為4，且離心率e=．
（I）求橢圓的方程
（II）橢圓C：=1（a＞b＞0）的左頂點為A，右頂點為B，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l：x=3分別交于M，N兩點，求線段MN的長度的最小值．

Answer 1

解：（I）由題設可得2a=4，=
∴a=2，c=
∴b²=a²-c²=2
∴橢圓的方程為；
（II）由題意，直線AS的斜率k存在，且k＞0，故可設AS的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，
可得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0
設S（x₁，y₁），則（-2）×x₁=，∴，∴
∵B（2，0），可得SB的方程為
化簡可得
由，可得，∴N（3，）
故|MN|=||
∵k＞0，∴|MN|=≥
當且僅當5k=，即k=時等號成立
∴k=時，線段MN的長度的最小值為．
分析：（I）利用橢圓的長軸長為4，且離心率e=，求出幾何量，從而可得橢圓的方程；
（II）設出AS的方程代入橢圓方程，利用韋達定理，確定S的坐標，從而可得SB的方程，與直線x=3聯(lián)立，求出N的坐標，進而可得|MN|，利用基本不等式，可得結論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．