Question

【題目】已知向量 =（2sinx， cosx）， =（﹣sinx，2sinx），函數(shù)f（x）= ．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0， ]的最值及所對(duì)應(yīng)的x值．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 =（2sinx， cosx）， =（﹣sinx，2sinx），

函數(shù)f（x）=

=﹣2sin2x+2 sinxcosx

=﹣2× + sin2x

= sin2x+cos2x﹣1

=2sin（2x+ ）﹣1；

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z

（2）解：當(dāng)x∈[0， ]時(shí)，2x+ ∈[ ， ]，

所以sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，

所以sin（2x+ ）﹣1∈[﹣ ，0]，

所以當(dāng)x= 時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0， ]上取得最小值﹣ ，

x= 時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值0

【解析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出f（x）的解析式，（1）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求出x∈[0， ]時(shí)sin（2x+ ）的取值，從而求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0， ]上的最值以及對(duì)應(yīng)x的值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正弦函數(shù)的單調(diào)性，需要了解正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)才能得出正確答案．