Question

某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A，B 兩種產(chǎn)品共50件．已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品，需要甲種原料共9kg，乙種原料3kg，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4kg，乙種原料10kg，可獲利潤1200元．
（Ⅰ）按要求安排A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有幾種方案？請你設(shè)計出來．
（Ⅱ）設(shè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品獲總利潤y（元），其中一種的生產(chǎn)件數(shù)為x，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)性質(zhì)說明（Ⅰ）中哪種方案獲利最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B件產(chǎn)品為（50-x）件，則根據(jù)生產(chǎn)一件A產(chǎn)品，需要甲種原料共9kg，乙種原料3kg，生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4kg，乙種原料10kg，及有甲種原料360kg，乙種原料290kg，即可列出不等式組，解出不等式組的解，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，可獲利潤1200元，可建立函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的單調(diào)性及（1）的結(jié)論，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B件產(chǎn)品為（50-x）件，依題意，得

9x+4(50-x)≤360 3x+10(50-x)≤290

解得30≤x≤32
∵x 是整數(shù)，∴x 只能取30，31，32．
∴生產(chǎn)方案有3種，分別為A種30件，B種20件；A種31件，B種19件；A種32件，B種18件
（2）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則y=700x+1200（50-x）=-500x+60000．
∵y隨x的增大而減小
∴當(dāng)x=30時，y值最大，y_最大=-500×30+60000=45000．
∴安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品30 件，B種產(chǎn)品20 件時，獲利最大，最大利潤是45000元

點評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，同時考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．