Question

已知函數(shù)f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1處取得極值-3-c，其中a，b，c為常數(shù)．
（1）試確定a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若對任意x＞0，不等式f（x）≥-（c-1）⁴+（c-1）²-c+9恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意知f（1）=-3-c，因此b-c=-3-c，從而b=-3．
又對f（x）求導得f′（x）=4ax³lnx+ax⁴=x³（4alnx+a+4b）．
由題意f′（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12．
（2）由（1）知f′（x）=48x³lnx（x＞0），令f′（x）＞0，解得x＞1．
因此f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
（3）由（2）知，f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-3-c，此極小值也是最小值，
要使f（x）≥-（c-1）⁴+（c-1）²-c+9（x＞0）恒成立，
即-3-c≥-（c-1）⁴+（c-1）²-c+9（x＞0）恒成立，
令t=（c-1）²（t≥0），則t≥4或t≤-3（舍）．
∴（c-1）²≥4，
解得c∈（-∞，-1]∪[3，+∞）．
分析：（1）由題意知f（1）=b-c=-3-c可求得b=-3，再由f′（1）=0，得a=12；
（2）由f′（x）=48x³lnx＞0，可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
（3）由（2）知，f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-3-c，此極小值也是最小值，由-3-c≥-（c-1）⁴+（c-1）²-c+9（x＞0）恒成立即可求得c的范圍．
點評：本題考查導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查綜合分析、運算能力，屬于難題．