Question

已知橢圓與雙曲線共焦點，點在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點Q（0，2），P為橢圓C上的動點，點M滿足：，求動點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓與雙曲線公焦點，可知橢圓的焦點坐標，利用點在橢圓C上，根據橢圓的定義，我們可以求出a的值，根據焦點坐標，利用b²=a²-c²，可以求出b²，從而可求橢圓C的方程；
（2）利用點M滿足：，可得動點M與動點P之間的坐標關系，利用點P滿足橢圓方程，我們可以求出動點M的軌跡方程．
解答：解：（1）由已知得雙曲線焦點坐標為F₁（-2，0），F₂（2，0），
由橢圓的定義得|AF₁|+|AF₂|=2a，∴，∴
而c²=4，∴b²=a²-c²=18-4=14
∴所求橢圓方程為
（2）設M（x，y），P（x，y），由得（x，y-2）=（x-x，y-y）
∴而P（x，y）在橢圓上
即
即為所求M的軌跡方程．
點評：本題的考點是橢圓的標準方程，考查待定系數法求橢圓的標準方程，考查代入法求軌跡方程，解題的關鍵是利用向量關系，尋求動點之間的坐標關系．