Question

已知函數(shù)y=

1

2

cos2x+

3

2

sinx•cosx+1（x∈R）．   
（1）求y的最大值及此時(shí)的x的值的集合；    
（2）該函數(shù)圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為 一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，即可求出函數(shù)的最大值，以及x 的值．
（2）該函數(shù)圖象可由y=sinx的圖象，按照向左平移，橫向伸縮，縱向伸縮，上下平移的方法，即可得到函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）y=

1

2

cos2x+

3

2

sinx•cosx+1
=

1

4

(1+cos2x)+

3

4

sin2x+1
=

1

2

sin(2x+

π

6

) +

5

4

，
所以ymax=

7

4

，此時(shí)x的集合是{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）函數(shù)圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)向左平移

π

6

單位，橫向縮短到原來(lái)的

1

2

，縱坐標(biāo)不變，縱向縮短到原來(lái)的

1

2

，橫坐標(biāo)不變，然后把函數(shù)的圖象向上平移

5

4

單位，即可得到函數(shù)y=

1

2

sin(2x+

π

6

) +

5

4

的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，牢記三角函數(shù)的公式，在解題時(shí)才能靈活應(yīng)用，函數(shù)圖象的變換注意x 的系數(shù)．