Question

【題目】如圖，一張矩形白紙，，，，分別為，的中點(diǎn)，現(xiàn)分別將，沿，DF折起，且、在平面同側(cè)，下列命題正確的是_________（寫出所有正確命題的序號）

①平面平面時(shí)，

②當(dāng)平面平面時(shí)，平面

③當(dāng)、重合于點(diǎn)時(shí)，

④當(dāng)、重合于點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的半徑為

Answer 1

【答案】②

【解析】

分別作出平面平面時(shí)，、重合于點(diǎn)時(shí)幾何體圖形，根據(jù)線面位置關(guān)系和長度關(guān)系證明判定，利用補(bǔ)圖法求外接球的半徑．

由題：矩形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，

，

所以，同理可得，，

，

中，，所以，

由余弦定理，

當(dāng)平面平面時(shí)，如圖：

所以在折疊后的圖形中，，

可得平面，平面，由于，

平面與平面都經(jīng)過，則平面與平面重合，

所以四邊形為平行四邊形，，平面，平面

所以平面，所以②正確；

假設(shè)，則四邊形為平行四邊形，可得與矛盾，所以①矛盾；

當(dāng)、重合于點(diǎn)時(shí)，如圖：

由題可得：，，

，所以不可能，所以③錯(cuò)誤；

三棱錐中，，

所以為直角三角形，，

，所以為直角三角形，

為直角三角形，

由補(bǔ)圖法可知三棱錐的與以為長寬高的長方體外接球相同，

其直徑為，

所以外接球的半徑為，所以④不正確；

故答案為：②