Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，O是AC與BD的交點(diǎn)，SO⊥平面ABCD，E是側(cè)棱SC的中點(diǎn)，異面直線SA和BC所成角的大小是60°．
（I）求證：直線SA∥平面BDE；
（II）求直線BD與平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接EO，由題設(shè)條件推導(dǎo)出EO是△ASC的中位線，由此能夠證明直線SA∥平面BDE．
（II）過點(diǎn)O作CB的平行線作x軸，過O作AB的平行線作y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出直線BD與平面SBC所成角的正弦值．
解答：解：（I）如圖，連接EO，
∵四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，O是AC與BD的交點(diǎn)，
∴O是AC的中點(diǎn)，
∵E是側(cè)棱SC的中點(diǎn)，
∴EO是△ASC的中位線，
∴EO∥SA，
∵SA?面ASC，EO?面ASC，
∴直線SA∥平面BDE．
（II）過點(diǎn)O作CB的平行線作x軸，過O作AB的平行線作y軸，以O(shè)S為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，
O是AC與BD的交點(diǎn)，SO⊥平面ABCD，E是側(cè)棱SC的中點(diǎn)，
∴SO=2，
∴B（1，1，0），C（-1，1，0），S（0，0，2），D（-1，-1，0），
∴，，，
設(shè)面SBC的法向量為，
則，，
∴，
∴，
設(shè)直線BD與平面SBC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜＞|=||=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．