Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，其中a＞0，且函數(shù)f（x）的最大值是
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=lnf（x）﹣b有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若對任意的x∈（0，2），都有f（x）＜ 成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得函數(shù)f（x）= 的導數(shù)為f′（x）= ，

因為a＞0，所以當x∈（﹣∞，1）時，f′（x）＞0，

y=f（x）在（﹣∞，1）單調(diào)遞增；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，

y=f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減；

則 ，則a=1

（2）解：由題意知函數(shù)g（x）=lnf（x）﹣b=lnx﹣x﹣b，（x＞0）

所以g′（x）= ﹣1= ，

易得函數(shù)g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以g（x）max=g（1）=﹣1﹣b，

則依題意知﹣1﹣b＞0，

則b＜﹣1，所以實數(shù)b的取值范圍是（﹣∞，﹣1）

（3）解：由題知f（x）= ＜ 對任意x∈（0，2）都成立，

所以k+2x﹣x2＞0，即k＞x2﹣2x對任意x∈（0，2）都成立，從而k≥0．

又不等式整理可得k＜ +x2﹣2x，令g（x）= +x2﹣2x，

所以g′（x）= +2（x﹣1）=（x﹣1）（ +2），得x=1，

當x∈（1，2）時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，

同理，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，g（x）min=g（1）=e﹣1，

依題意得k＜g（x）min=g（1）=e﹣1，

綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是[0，e﹣1）

【解析】（1）求出f（x）的導數(shù)，由題意a＞0，討論f（x）的單調(diào)區(qū)間，可得f（1）我最大值，解方程可得a的值；（2）求出g（x）的解析式，求得g（x）的導數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得g（x）的最大值，令最大值大于0，解不等式即可得到b的范圍；（3）由題意可得f（x）= ＜ 對任意x∈（0，2）都成立，所以k+2x﹣x2＞0，即k＞x2﹣2x對任意x∈（0，2）都成立，從而k≥0，可得k＜ +x2﹣2x，令g（x）= +x2﹣2x，求出單調(diào)區(qū)間，可得最小值，進而得到k的范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．