Question

已知雙曲線C與雙曲線x²-

y2

2

=1有共同的漸近線，且雙曲線C過(guò)點(diǎn)M（2，2），則過(guò)點(diǎn)A（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線C交于Q₁、Q₂兩點(diǎn)，且A是線段Q₁Q₂的中點(diǎn)，這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出雙曲線方程，假設(shè)直線l存在．由已知條件利用點(diǎn)差法求出直線l的方程為2x-y-1=0，y=2x-1代入雙曲線方程，得2x²-4x+5=0，由△＜0，推導(dǎo)出直線l不存在．

解答： 解：設(shè)雙曲線方程為x²-

y2

2

=λ
代入點(diǎn)M（2，2），得λ=2，
∴雙曲線C的方程為

x2

2

-

y2

4

=1
設(shè)點(diǎn)Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），則2x₁²-y₁²=4，2x₂²-y₂²=4
由點(diǎn)差法作差，利用A是線段Q₁Q₂的中點(diǎn)，代入得k=2                                 
∴直線l的方程為y-1=2（x-1）即y=2x-1            
y=2x-1代入雙曲線方程，得2x²-4x+5=0
∵△=16-4×2×5=-24＜0，
∴直線l與雙曲線C無(wú)交點(diǎn)，故直線l不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程、直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法和根的判別式的合理運(yùn)用．