如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中點(diǎn)
(1)求證:平面PDC⊥平面PAD;
(2)求三棱錐P-AEC的體積.
分析:(1)以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面PCD的法向量和平面PAD的法向量,利用向量法能夠證明平面PDC⊥平面PAD.
(2)由E(0,2,1),P(0,0,2),C(2,4,0),A(0,0,0),知
AP
=(0,0,2)
,
AC
=(2,4,0),
AE
=(0,2,1),求出平面PAC的法向量,利用向量法求出點(diǎn)E到平面PAC的距離d,再求出△PAC的面積,由三棱錐P-AEC的體積V=
1
3
×S△PAC×d
,能求出結(jié)果.
解答:(1)證明:以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,
AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
∵PA=AB=2,BC=4,
∴P(0,0,2),C(2,4,0),D(0,4,0),
PC
=(2,4,-2)
,
PD
=(0,4,-2)
,
設(shè)平面PCD的法向量
n
=(x,y,z)
,則
n
PC
=0
n
PD
=0
,
2x+4y-2z=0
4y-2z=0
,∴
n
=(0,1,2)
,
∵平面PAD的法向量
n1
=(1,0,0)
,
n
n1
=0
,
∴平面PDC⊥平面PAD.
(2)解:∵E(0,2,1),P(0,0,2),C(2,4,0),A(0,0,0),
AP
=(0,0,2)
,
AC
=(2,4,0),
AE
=(0,2,1),
設(shè)平面PAC的法向量
n2
=(x2,y2z2)
,則
AP
n2
=0
,
AC
n2
=0
,
2z2=0
2x2+4y2=0
,∴
n2
=(2,-1,0),
∴點(diǎn)E到平面PAC的距離d=
|
AE
n2
|
|
n2
|
=
|-2|
5
=
2
5
5
,
S△PAC=
1
2
×2×
4+16
=2
5

∴三棱錐P-AEC的體積V=
1
3
×S△PAC×d
=
1
3
×2
5
×
2
5
5
=
4
3
點(diǎn)評:本題考查平面與平面的垂直,考查棱錐的體積的求法.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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(2012•惠州模擬)如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=2,E是PD的中點(diǎn).
(1)求證:平面PDC⊥平面PAD;
(2)求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值.

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(Ⅰ)求證:平面PDC⊥平面PAD;
(Ⅱ)在BC邊上是否存在一點(diǎn)M,使得D點(diǎn)到平面PAM的距離為2,若存在,求BM的值,若不存在,請說明理由.

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(Ⅰ)EF∥平面PAB;
(Ⅱ)平面PAD⊥平面PDC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,PA=AB=1,BC=2.
(1)若E為PD的中點(diǎn),求異面直線AE與PC所成角的余弦值;
(2)在BC上是否存在一點(diǎn)G,使得D到平面PAG的距離為1?若存在,求出BG;若不存在,請說明理由.

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